模式分解

1. 考点：保持函数依赖分解

1.1 定义

• 核心概念：设数据库模式 $\rho = \{R_1, R_2, \cdots, R_k\}$ 是关系模式 $R$ 的一个分解，$F$ 是 $R$ 上的函数依赖集，$\rho$ 中每个模式 $R_i$ 的 $\text{FD}$ 集是 $F_i$。如果 $\{F_1, F_2, \cdots, F_k\}$ 与 $F$ 是等价的（即相互逻辑蕴含），那么称分解 $\rho$ ​保持 $\text{FD}$。

1.2 实例讲解

1.2.1 例题一

• 已知条件：设关系模式 $R(U, F)$，其中 $U = \{A, B, C, D, E\}$，$F = \{A \to BC, C \to D, BC \to E, E \to A\}$。

• 问题 1：分解 $\rho = \{R_1(ABCE), R_2(CD)\}$ 是否保持函数依赖？

  • 解析：

    • $R_1(ABCE)$ 包含的函数依赖投影通常包括 $A \to BC$，$BC \to E$，$E \to A$ 等。
    • $R_2(CD)$ 包含 $C \to D$。
    • 检查原 $F$ 中的所有依赖是否都能在各个分解后的关系中找到或被其逻辑蕴含：$A \to BC$（在 $R_1$ 中），$C \to D$（在 $R_2$ 中），$BC \to E$（在 $R_1$ 中），$E \to A$（在 $R_1$ 中）。因此该分解​保持函数依赖。

• 问题 2：分解 $\rho = \{R_1(ABE), R_2(CD)\}$ 是否保持函数依赖？

  • 解析：

    • 检查原依赖 $C \to D$ 可以落在 $R_2(CD)$ 中。
    • 但是原依赖 $A \to BC$ 中的属性 $C$ 丢失在了 $R_1(ABE)$ 之外（$R_1$ 只有 $A, B, E$），导致无法在任何单一子模式中重构或验证 $A \to BC$。因此该分解​不保持函数依赖。

1.2.2 例题二

• 已知条件：设关系模式 $R(U, F)$，其中 $U = \{A, B, C\}$，$F = \{A \to B, B \to C, A \to C\}$。

• 问题：分解 $\rho = \{R_1(AB), R_2(BC)\}$ 是否保持函数依赖？

  • 解析：

    • $R_1(AB)$ 包含 $A \to B$。
    • $R_2(BC)$ 包含 $B \to C$。
    • 根据传递律，由 $A \to B$ 和 $B \to C$ 可以推导出 $A \to C$。因此原依赖集 $F$ 中的 $A \to C$ 虽然没有直接完整地呆在某一个子模式里，但它可以被分解后的 $F_1$ 和 $F_2$ 联合逻辑蕴含。所以该分解​保持函数依赖。

1.3 重要考场注意点

⚠️ 注意：此类题要排除传递依赖。 在分析和化简函数依赖集、判断是否保持 $\text{FD}$ 时，切记要考虑通过传递规则（如 $A \to B$ 且 $B \to C$ 可推出 $A \to C$）所隐含的依赖关系，不要误判因表面上少写一条而认为不保持。

2. 考点：无损分解

2.1 基本概念

• 通俗理解：

  • 有损分解：分解后无法还原。
  • 无损分解：分解后可以通过自然连接等运算完全还原。

• 无损连接分解的定义：指将一个关系模式分解成若干个关系模式后，通过自然连接等运算仍能还原到原来的关系模式。

2.2 经典思考题与解析

• 题目：

  • 有关系模式：$\text{成绩}(\text{学号}, \text{姓名}, \text{课程号}, \text{课程名}, \text{分数})$

  • 函数依赖：$\text{学号} \to \text{姓名}$，$\text{课程号} \to \text{课程名}$，$(\text{学号}, \text{课程号}) \to \text{分数}$

  • 若将其分解为：

    • $\text{成绩}_1(\text{学号}, \text{课程号}, \text{分数})$
    • $\text{学生}(\text{学号}, \text{姓名})$
    • $\text{课程}(\text{课程号}, \text{课程名})$

• 请思考该分解是否为无损分解？（重点看同名小表是否可以推出大表）

• 解析：

  • 判断依据（定理法） ​：在将一个关系模式分解为两个或多个关系模式时，如果公共属性构成了其中某个子模式的​候选码（或超键） ​，则该分解是​无损连接分解。

  • 具体分析：

    • 原关系模式的候选码为 $(\text{学号}, \text{课程号})$。
    • 在分解后的关系中，“学生”表与“成绩”表的公共属性是 ​**$\text{学号}$**，而 $\text{学号} \to \text{姓名}$（即 $\text{学号}$ 是“学生”表的候选码）。
    • 同理，“课程”表与“成绩”表的公共属性是 ​**$\text{课程号}$**，而 $\text{课程号} \to \text{课程名}$（即 $\text{课程号}$ 是“课程”表的候选码）。

  • 结论​：由于每次连接时的公共属性都能函数决定该子模式的其余属性（满足无损分解的判定条件），因此该分解​是无损分解。

3. 经典例题

3.1 题目一

题目： 给定关系模式 $R(A_1, A_2, A_3, A_4)$ 上的函数依赖集 $F = \{A_1A_3 \to A_2, A_2 \to A_3\}$。若将 $R$ 分解为 $\rho = \{(A_1, A_2), (A_1, A_3)\}$，则该分解是（ ）的。

• A、无损连接且不保持函数依赖
• B、无损连接且保持函数依赖
• C、有损连接且保持函数依赖
• D、有损连接且不保持函数依赖

【解析】

• 正确答案： D

• 解析说明：

  • 判断无损连接：

    • 用 Chase 法则判断：

      • 初始表格：

属性	A1	A2	A3	A4
$R_1(A_1, A_2)$	$a_1$	$a_2$	$b_{13}$	$b_{14}$
$R_2(A_1, A_3)$	$a_1$	$b_{22}$	$a_3$	$b_{24}$

  - 根据 $A_1A_3 \to A_2$：两行在 $A_1$ 上相同，但 $A_3$ 上不同（第 $1$ 行是 $b_{13}$，第 $2$ 行是 $a_3$），不适用。
  - 根据 $A_2 \to A_3$：两行在 $A_2$ 上不同（第 $1$ 行是 $a_2$，第 $2$ 行是 $b_{22}$），不适用。
  - 检查结果：没有出现全部为 $a$ 的行。
  - 因此，该分解是**有损连接**。

• 判断保持函数依赖：

  • 原函数依赖集 $F = \{A_1A_3 \to A_2, A_2 \to A_3\}$。

  • 分解后：

    • $R_1(A_1, A_2)$ 上的函数依赖：无（$A_1 \to A_2$ 不成立，$A_2 \to A_1$ 不成立）。
    • $R_2(A_1, A_3)$ 上的函数依赖：无（$A_1 \to A_3$ 不成立，$A_3 \to A_1$ 不成立）。

  • 分解后丢失了 $A_1A_3 \to A_2$ 和 $A_2 \to A_3$。

  • 因此，该分解​不保持函数依赖。

• 结论：该分解是有损连接且不保持函数依赖的。

正确答案： D（有损连接且不保持函数依赖）。

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